2020 A/L Physics Past Paper · Question 05 (Sinhala Medium)

Answer: (1) $My^2$

ප්‍රශ්නය අසන්නේ කුමක්ද

අසන්නේ: දණ්ඩ $AB$ ට සමාන්තරව, එයින් $y$ දුරකින් ඇති අක්ෂය $PQ$ වටා දණ්ඩේ අවස්ථීති ඝූර්ණය — $M$, $L$, $y$ වලින් සෑදුණු කෝවයක්.

අදාළ න්‍යාය

ස්කන්ධය $m$ වූ P නම් අංශුවක්, අරය $r$ වූ වෘත්තාකාර පථයක චලනය වන්නේ නම්, එම පථයේ කේන්ද්‍රය වන O ලක්ෂ්‍යය වටා එම අංශුවෙහි අවස්ථීති ඝූර්ණය,

$$I = mr^2$$ ලෙස දෙනු ලැබේ.

එය භ්‍රමණ අක්ෂයෙහි පිහිටීම සහ එය වටා වස්තුවෙහි ස්කන්ධය ව්‍යාප්ත වී ඇති ආකාරය මත රඳා පවතී.

දණ්ඩ වැනි පුළුල් වස්තුවක් කුඩා අංශු ගණනාවකින් සෑදී ඇති බව සලකා, එක් එක් අංශුවට $I = mr^2$ යෙදීමෙන් සමස්ත අවස්ථීති ඝූර්ණය $I = \sum m_ir_i^2$ ලෙස ලැබේ.

අවශ්‍ය සමීකරණ

$I = \sum m_i r_i^2$

$I = \sum m_i y^2$

$I = y^2 \sum m_i$

$I = My^2$

තර්කය / ගණනය

සංකේත:

$m_i$ — දණ්ඩේ කුඩා අංශුවක ස්කන්ධය.

$r_i$ — එම අංශුවේ සිට අක්ෂය $PQ$ දක්වා ඇති ලම්බ දුර.

$M = \sum m_i$ — දණ්ඩේ මුළු ස්කන්ධය; $L$ — දණ්ඩේ දිග; $y$ — දණ්ඩ සහ $PQ$ අතර දුර.

මැදි පියවර ඉවත් කිරීම: දණ්ඩ සිහින් වන බැවින් හා $PQ$ ට සමාන්තර බැවින්, $A$ හි අංශුව ද මැද අංශුව ද $B$ හි අංශුව ද — සියල්ලම $PQ$ සිට එකම ලම්බ දුර $y$ හි පිහිටයි.

එබැවින් සෑම $r_i$ ක්ම $y$ කින් ප්‍රතිස්ථාපනය වේ; දණ්ඩ ඔස්සේ අංශුවේ පිහිටීම (එනම් $L$ තුළ එය කොතැනද යන්න) මෙම දුරට බලපාන්නේ නැත.

ප්‍රතිසංයෝජනය: $I = \sum m_iy^2 = y^2\sum m_i = My^2$.

පිළිතුරේ $L$ නොමැත — දණ්ඩට සමාන්තර අක්ෂයක් වටා භ්‍රමණයේදී දණ්ඩේ දිග කිසිදු කාර්යභාරයක් නොකරයි.

විකල්ප පරීක්ෂා කිරීම

විකල්ප සමඟ සැසඳීම: ලැබෙන කෝවය $My^2$ — විකල්පය (1).

විකල්ප (2), (4) හි $L^2$ ඇත, (3) හි $y$ නැත, (5) ශුන්‍යයි; මේවායින් කිසිවක් $My^2$ සමඟ නොගැලපේ.

විකල්ප (3) හි $\frac{1}{3}ML^2$ වෙනත් අක්ෂයකට අයත්ය — දණ්ඩේ කෙළවරක් හරහා එයට ලම්බව යන අක්ෂයකට; එහිදී දුර $0$ සිට $L$ දක්වා වෙනස් වන බැවින් එම අක්ෂයේ අවස්ථීති ඝූර්ණය වෙනස් ගණනයකි.

පරීක්ෂා කිරීම

මාන පරීක්ෂාව: $[My^2] = ML^2$ — අවස්ථීති ඝූර්ණයේ මානය (ඒකකය $\text{kg m}^2$) ✓.

විකල්පය (5) හැර අනෙක් සියල්ලටම මෙම මානය ඇති බැවින්, තේරීම සීමා පරීක්ෂාවෙන් ද තහවුරු වේ.

සීමා පරීක්ෂාව: $y \to 0$ වන විට, අක්ෂය සිහින් දණ්ඩ ඔස්සේම එහි දිග ඔස්සේ යයි; අංශු අක්ෂය මතම පිහිටන බැවින් $I \to 0$.

$My^2 \to 0$ ✓; නමුත් (2) $\to ML^2$, (3) $= \frac{1}{3}ML^2$, (4) $\to \frac{1}{2}ML^2$ — තුනම මෙම සීමාවේදී වැරදියි.

නිගමනය

$I = My^2$

දණ්ඩේ සෑම අංශුවක්ම $PQ$ සිට එකම දුර $y$ හි පිහිටන බැවින් $I = \sum m_iy^2 = My^2$ — පිළිතුර (1).

අක්ෂය කොතැන සිටියත් දණ්ඩට $\frac{1}{3}ML^2$ හෝ $\frac{1}{12}ML^2$ යෙදීම.

එම සූත්‍ර දෙකම දණ්ඩට ලම්බ අක්ෂ සඳහා පමණි. මුලින්ම එක් එක් අංශුවේ සිට අක්ෂය දක්වා ඇති ලම්බ දුර කුමක්දැයි බලන්න.