2023 A/L Physics Past Paper · Question 19 (Tamil Medium)

Answer: (3) $\sqrt{\dfrac{r_2}{r_1}}$

வினா என்ன கேட்கிறது

எமக்குத் தெரிந்தவை:

புவி சூரியனைப் பற்றி ஆரை $r_1$ ஐ உடைய வட்டத்தில் கதி $v_1$ உடன் சுற்றுகிறது.

செவ்வாய் சூரியனைப் பற்றி ஆரை $r_2$ ஐ உடைய வட்டத்தில் கதி $v_2$ உடன் சுற்றுகிறது.

எண்கள் இல்லை. எழுத்துகளையே வைத்திருப்போம், பின்னர் ஒரு மாதிரியுடன் சரிபார்ப்போம்: செவ்வாயின் பாதை புவியின் பாதையின் $4$ மடங்கு.

கண்டுபிடிக்க வேண்டியது: இரு கதிகளின் விகிதம் $\dfrac{v_1}{v_2}$.

ஒவ்வோர் எழுத்தும் எதைக் குறிக்கிறது:

$G$ ($\text{N m}^2\,\text{kg}^{-2}$): அகில ஈர்ப்பு மாறிலி.

$M$ ($\text{kg}$): சூரியனின் திணிவு.

$m$ ($\text{kg}$): ஒரு கோளின் திணிவு.

$r$ ($\text{m}$): கோளின் பாதையின் ஆரை.

$v$ ($\text{m s}^{-1}$): கோளின் கதி.

தொடர்புடைய கோட்பாடு

ஐசெக் நியூற்றன் எனும் விஞ்ஞானி, சூரியனைச் சுற்றி நீள்வட்டப் பாதைகளில் நிகழும் கோள்களின் இயக்கம் தொடர்பாக நடத்திய ஆய்வுகளின் படி, சூரியனினால் அக்கோள்கள் மீது ஏற்படுத் தப்படும் ஒரு வகையான கவர்ச்சி விசை அவ்வட்ட இயக்கத்துக்கு துணையாகின்றது எனக் கண்டறிந்தார்.

இந்த வட்ட இயக்கத்துக்குத் தெவையான மைய நாட்ட விசையானது புவியின் ஈர்ப்பினாலேயே வழங்கப்படும்.

அப்போது $F = ma$ சமன்பாட்டின் படி, $\left(G\frac{Mm}{r^2}\right) = \left(\frac{mv^2}{r}\right)$, [ $\frac{v^2}{r}$ = மையநாட்ட ஆர்முடுகல்]

$v^2 = \frac{GM}{r}$

$\therefore$ உபகோளின் கதி $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ எனக் குறிப்பிடலாம்.

$G, M$ ஆகிய கணியங்கள் மாறிலி ஆகும். அதற்கமைய உபகோளொன்றின் கதியும் அதன் ஆவர்த்தன காலமும் அதன் சுற்றுப் பாதையின் ஆரையில் மாத்திரமே தங்கியுள்ளது என்பது மேற்படி கோவைகளின் மூலம் தெரிகிறது.

முதல் மேற்கோள் சொல்கிறது: சூரியன் கோள்களை இழுக்கிறது, அந்த இழுப்பு அவற்றின் வட்ட இயக்கத்துக்குத் துணையாகிறது. அடுத்த மூன்று மேற்கோள்கள் உபகோளொன்று புவியைப் பற்றிச் சுற்றும்போது கதி எப்படிக் கிடைக்கிறது என்று காட்டுகின்றன.

சூரியனைச் சுற்றும் கோளும் அதே வகை இயக்கம். புவிக்குப் பதிலாக சூரியன் இருக்கிறது, சூரியனின் இழுப்பே கோளை வட்டத்தில் வைத்திருக்கும் மைய நாட்ட விசை.

எனவே கோளின் மீது சூரியனின் இழுப்பு, வட்டத்துக்குத் தேவையான விசை $\dfrac{mv^2}{r}$ க்குச் சமம்.

தேவையான சமன்பாடுகள்

$F = G\dfrac{Mm}{r^2}$

$F = \dfrac{mv^2}{r}$

$G\dfrac{Mm}{r^2} = \dfrac{mv^2}{r}$

$v^2 = \dfrac{GM}{r}$

காரணம் / கணக்கீடு

மாறாதவை: $G$ உம் சூரியனின் திணிவு $M$ உம். கோளின் திணிவு $m$ நீங்கிவிட்டது, எனவே அது முக்கியமில்லை.

மாறுபவை: பாதையின் ஆரை $r$, அதனுடன் கதி $v$ உம்.

உதாரணமாக, மேசையின் நடுவில் உள்ள பெரிய காந்தத்தைச் சுற்றி வட்டங்களில் இழுபட்டுச் செல்லும் விளையாட்டுக் கார்களைக் கருதுங்கள்.

காந்தத்துக்கு அண்மையில் உள்ள கார் வலுவான இழுப்பை உணர்கிறது, எனவே வட்டத்தில் இருக்க வேகமாகச் செல்ல வேண்டும். காந்தத்தை விட்டுத் தொலைவில் உள்ள கார் பலவீனமான இழுப்பை உணர்கிறது, எனவே மெதுவாகச் செல்கிறது.

சூரியனுக்கு அண்மையில் உள்ள கோள், காந்தத்துக்கு அண்மையில் உள்ள கார் போன்றது.

ஒவ்வொரு கோளுக்கும் விதியை எழுதி, வகுக்கவும்.

$$v_1^2 = \dfrac{GM}{r_1} \qquad v_2^2 = \dfrac{GM}{r_2}$$

$$\dfrac{v_1^2}{v_2^2} = \dfrac{GM/r_1}{GM/r_2} = \dfrac{r_2}{r_1}$$

$G$ உம் $M$ உம் நீங்கிவிடும்.

இது கதிகளின் வர்க்கங்களின் விகிதம். இரு பக்கங்களினதும் வர்க்கமூலம் எடுக்க:

$$\dfrac{v_1}{v_2} = \sqrt{\dfrac{r_2}{r_1}}$$

ஒரு மாதிரியுடன் சரிபார்ப்போம். செவ்வாயின் பாதை $4$ மடங்கு பெரியது, $r_2 = 4r_1$ என்க:

$$\dfrac{v_1}{v_2} = \sqrt{4} = 2$$

அண்மையில் உள்ள புவி செவ்வாயை விட $2$ மடங்கு வேகமாகச் செல்கிறது.

தெரிவுகளை ஆராய்தல்

விகிதம் $\dfrac{v_1}{v_2} = \sqrt{\dfrac{r_2}{r_1}}$. அது தெரிவு (3).

தெரிவுகள் (1), (4) ஆரைகளின் விகிதத்தைத் தலைகீழாகக் கொண்டுள்ளன. தெரிவுகள் (2), (5) தவறான அடுக்கைக் கொண்டுள்ளன.

சரிபார்ப்பு

பரிமாணச் சரிபார்ப்பு:

$\dfrac{v_1}{v_2}$ என்பது கதியைக் கதியால் வகுப்பது, $\dfrac{r_2}{r_1}$ என்பது நீளத்தை நீளத்தால் வகுப்பது. இரண்டும் வெறும் எண்கள், எனவே அவற்றைச் சமப்படுத்தலாம்.

$pow(k, 0.5)$

இது பொருந்துகிறதா?

புவி செவ்வாயை விடச் சூரியனுக்கு அண்மையில் உள்ளது, எனவே $r_2$ ஆனது $r_1$ ஐ விடப் பெரியது. அப்போது $\dfrac{r_2}{r_1}$ ஆனது $1$ ஐ விடப் பெரியது, அதன் வர்க்கமூலமும் அப்படியே. புவி வேகமானது, இது பொருந்துகிறது.

முடிவு

$\dfrac{v_1}{v_2} = \sqrt{\dfrac{r_2}{r_1}}$

$\dfrac{v_1^2}{v_2^2} = \dfrac{r_2}{r_1}$, எனவே $\dfrac{v_1}{v_2} = \sqrt{\dfrac{r_2}{r_1}}$.

விடை (3).

ஈர்ப்பினால் வட்டத்தில் வைக்கப்படும் பொருளுக்கு $v^2 = \dfrac{GM}{r}$. எனவே $v$ ஆனது $\dfrac{1}{\sqrt{r}}$ உடன் செல்கிறது.

இரு நிலைகளினதும் விகிதத்தை எழுதி, வர்க்கமூலம் எடுங்கள். அண்மையில் உள்ள கோள் வேகமானது.

பரீட்சைக் குறிப்பு