2020 A/L Physics Past Paper · Question 47 (Sinhala Medium)

Answer: (5) $2\ \Omega < R < 3\ \Omega$

ප්‍රශ්නය අසන්නේ කුමක්ද

සොයනු ලබන්නේ: අනවසාන සෝපානයේ $A$, $B$ අතර සමක ප්‍රතිරෝධය $R$ පවතින පරාසය.

දී ඇති තොරතුරු

දී ඇත්තේ: සියලු ප්‍රතිරෝධක $1\ \Omega$; එක් එක් කොටසේ ඉහළ රේඛාවේ එකක්, පහළ රේඛාවේ එකක්, පසුව හරස් පියවරක්; මෙම රටාව අනවසානව දිගටම පවතියි.

අදාළ න්‍යාය

එකම ධාරාව ගෙනයන පරිදි ප්‍රතිරෝධක කීපයක් යාකොට තිබේනම් එය ශ්‍රේණි ගත සම්බන්ධයකි.

එම ධාරාවම ගෙනයමින් මුල් ප්‍රතිරෝධය හරහා පවත්නා පූර්ණ විභව අන්තරය පවත්වා ගන්නා තනි ප්‍රතිරෝධකයේ ප්‍රතිරෝධය මුල්, ප්‍රතිරෝධ පද්ධතියේ සමක ප්‍රතිරෝධයයි.

ඒ අනුව $V = IR$, $R$ යනු නියතයකි.

"පරිපථයක යම් සන්ධියක් හරහා ගලා යන ධාරාවන්ගේ වීජීය ඓක්‍යය ශූන්‍යය වේ"

තර්කය / ගණනය

ව්‍යුහය: $A$ සිට ඉහළ $1\ \Omega$ සන්ධිය $C$ දක්වා; $B$ සිට පහළ $1\ \Omega$ සන්ධිය $D$ දක්වා; $C$, $D$ අතර පළමු පියවර $1\ \Omega$; එම $C$, $D$ වලින්ම ඉතිරි සෝපානය දිගටම පවතියි.

සමමිතිය (ස්වයං-සමානකම): සෝපානය අනවසානයි; පළමු කොටස ඉවත් කළ විට $C$, $D$ වලින් දක්නට ලැබෙන්නේ හරියටම එම අනවසාන සෝපානයමයි. එබැවින් $C$, $D$ අතර ඉතිරි සෝපානයේ ප්‍රතිරෝධය ද $R$ ම ය.

ගැටිති: ඉහළ රේඛාවේ $A \to C$ හා පහළ රේඛාවේ $D \to B$ — මේ දෙකම සම්පූර්ණ ධාරාව ගෙනයයි (ශ්‍රේණිගත). $C$, $D$ අතර මාර්ග දෙකක්: පියවර $1\ \Omega$ හා ඉතිරි සෝපානය $R$ — දෙකටම එකම විභව අන්තරය.

සරල කිරීම: ඉතිරි සෝපානය $R$ ප්‍රතිරෝධයකින් ප්‍රතිස්ථාපනය කළ විට, ජාලය $1\ \Omega$ — ($1\ \Omega \parallel R$) — $1\ \Omega$ ශ්‍රේණිගතව බවට පත් වේ. $C$ සන්ධියේදී කර්චොෆ්ගේ පළමු නියමය අනුව $I = \dfrac{V_{CD}}{1} + \dfrac{V_{CD}}{R}$; එබැවින් $C$, $D$ අතර සමක ප්‍රතිරෝධය $\dfrac{V_{CD}}{I} = \dfrac{R}{1 + R}$.

අවශ්‍ය සමීකරණ

$R_{\text{ශ්‍රේණි}} = R_1 + R_2 + \cdots$

$I = \frac{V}{R_1} + \frac{V}{R_2} \;\Rightarrow\; R_{\parallel} = \frac{R_1R_2}{R_1 + R_2}$

$R = 1 + \frac{1 \times R}{1 + R} + 1$

$R(1 + R) = 2(1 + R) + R \;\Rightarrow\; R^2 - 2R - 2 = 0$

$2.73$

$R = \frac{2 + \sqrt{4 + 8}}{2} = 1 + \sqrt{3}$

භෞතික මූලය: $R^2 - 2R - 2 = 0$ හි අනෙක් මූලය $1 - \sqrt3 < 0$ — ප්‍රතිරෝධයක් සෘණ විය නොහැක; එබැවින් $R = 1 + \sqrt3 \approx 2.73\ \Omega$, එනම් $2\ \Omega < R < 3\ \Omega$.

විකල්ප පරීක්ෂා කිරීම

විකල්ප සමඟ සසඳා බැලීම: $R \approx 2.73\ \Omega$ — විකල්පය (5) $2\ \Omega < R < 3\ \Omega$.

පරීක්ෂා කිරීම

$1 + sqrt(3)$

සීමා පරීක්ෂාව: එක් කොටසක් පමණක් $1 + 1 + 1 = 3\ \Omega$ (ඉතිරිය විවෘත පරිපථයක් — ඉහළ සීමාව); ඉතිරිය කෙටි පරිපථයක් නම් $2\ \Omega$ (පහළ සීමාව). සැබෑ $R$ මේ දෙක අතර පවතියි. දෙවන ආකාරය (සීමිත සෝපාන): $n = 1$: $3$; $n = 2$: $2 + \dfrac{3}{4} = 2.75$; $n = 3$: $2 + \dfrac{2.75}{3.75} = 2.733$ — $2.732$ දෙසට ✓.

නිගමනය

$R = 1 + \sqrt{3} \approx 2.73\ \Omega$

ඉතිරි සෝපානය ද $R$: $R = 2 + \dfrac{R}{1 + R}$, $R = 1 + \sqrt3 \approx 2.73\ \Omega$ — පිළිතුර (5) $2\ \Omega < R < 3\ \Omega$.

අනවසාන සෝපානයට කොටස් එකතු කරකර යන විට ප්‍රතිරෝධය වැඩි වේ යැයි සිතීම.

සෑම නව කොටසක්ම පෙර පියවරට සමාන්තරව එකතු වේ: ප්‍රතිරෝධය අඩු වී $1 + \sqrt3$ හි ස්ථාවර වේ.