2020 A/L Physics Past Paper · Question 48 (Sinhala Medium)

Answer: (2) $2\pi\sqrt{\dfrac{a^3}{3GM}}$

ප්‍රශ්නය අසන්නේ කුමක්ද

සොයාගත යුත්තේ: මධ්‍යකේන්ද්‍රය වටා එක් පූර්ණ භ්‍රමණයක් සඳහා ගත වන කාලය $T$ — $a$, $G$, තරුවේ ස්කන්ධය යනාදියෙන්.

අදාළ න්‍යාය

නිව්ටන්ගේ ගුරුත්වාකර්ෂණ නියමය අනුව,

$m_1$ ස්කන්ධය මත බලය $F = G\frac{mm_1}{r^2}$ ලෙස ලියා දැක්විය හැකි ය.

වස්තුවක් ත්වරණයකින් ගමන් කරනුයේ බාහිර බලයක් මගින් වන හෙයින් වෘත්ත චලිතයෙහි යෙදෙන වස්තුවක් ද එය සිදු කරනුයේ එහි කේන්ද්‍රාභිසාරී ත්වරණයේ දිශාවට යොමු වූ බලයක් මගිනි. මෙම බලය කේන්ද්‍රාභිසාරී බලය ලෙස හඳුන්වනු ලබන අතර

$$F = \frac{mv^2}{r} = mr\omega^2$$

එක් පූර්ණ භ්‍රමණයක් සඳහා ගත වන කාලය භ්‍රමණ කාලාවර්තනයයි.

$$T = \frac{2\pi}{\omega}$$

අවශ්‍ය සමීකරණ

$F_1 = \frac{Gm^2}{a^2}$

$F = m r \omega^2$

$T = \frac{2\pi}{\omega}$

තර්කය / ගණනය

සංකේත: $m$ — එක් එක් තරුවේ ස්කන්ධය (තේරීම්වල $M$ ලෙස ලියා ඇත).

$a$ — තරු අතර දුර.

$r$ — මධ්‍යකේන්ද්‍රයේ සිට තරුවක දුර (පථයේ අරය).

$\omega$ — කෝණික ප්‍රවේගය.

එක් තරුවක් මත, ඇදීම් දෙකක් ක්‍රියා කරයි, එක් එක් $Gm^2/a^2$, අනෙක් තරු දෙක දෙසට — ඒවා අතර කෝණය $60^\circ$.

සමමිතිය නිසා මධ්‍යකේන්ද්‍රයට ලම්බක සංරචක එකිනෙක නිෂේධනය කරයි.

මධ්‍යකේන්ද්‍රය දෙසට ඇති සංරචක ($\cos 30^\circ$) එකතු වේ.

$F = 2 \times \frac{Gm^2}{a^2}\cos 30^\circ = \frac{\sqrt3\,Gm^2}{a^2}$

$r = \frac{2}{3} \times \frac{\sqrt3}{2}a = \frac{a}{\sqrt3}$

$m\frac{a}{\sqrt3}\omega^2 = \frac{\sqrt3\,Gm^2}{a^2}$

$\omega^2 = \frac{3Gm}{a^3}$

$T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{a^3}{3Gm}}$

විකල්ප පරීක්ෂා කිරීම

ලැබෙන රූපය $2\pi\sqrt{a^3/3Gm}$ — තේරීම (2) (එහි තරුවේ ස්කන්ධය $M$ ලෙස ලියා ඇත).

අනෙක් තේරීම් විසේ බල සංඛ්‍යා ලෙස එකතු කිරීමෙන් හෝ වැරදි අරයකින් ලැබෙන ඒවාය.

පරීක්ෂා කිරීම

මාන පරීක්ෂාව: $\dfrac{a^3}{Gm}$: $\dfrac{\text{m}^3}{\text{N m}^2\text{kg}^{-2} \times \text{kg}} = \dfrac{\text{m}^3}{\text{m}^3\text{s}^{-2}} = \text{s}^2$; මූලය s ✓.

සීමා අවස්ථාව: $m$ වැඩි වන විට (ඇදීම ශක්තිමත්) $T$ අඩු වේ.

$a$ වැඩි වන විට $T \propto a^{3/2}$ — කෙප්ලර්ගේ තුන්වන නියමයේ ස්වරූපයයි ✓.

නිගමනය

$T = 2\pi\sqrt{\frac{a^3}{3Gm}}$

ප්‍රතිඵලය $\sqrt3\,Gm^2/a^2$ කේන්ද්‍රාභිසාරී බලය $m(a/\sqrt3)\omega^2$ සපයයි: $T = 2\pi\sqrt{a^3/3Gm}$ — පිළිතුර (2).

ගුරුත්වාකර්ෂණ ඇදීම් දෙක සංඛ්‍යා ලෙස එකතු කිරීම ($2Gm^2/a^2$).

ඒවා $60^\circ$ කෝණයක ඇති දෛශික: කේන්ද්‍රය දෙසට ඇති සංරචක පමණක් එකතු වේ — $\sqrt3\,Gm^2/a^2$.